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Apologia della Matematica – vol. 2

19 Settembre, 2008 in Matematica | Leave a comment

… ovvero “Forse il più significativo contributo al progresso umano da parte dei piccioni”.

Questa volta si parla di uno strumento dimostrativo davvero notevole, tanto utile e profondo quanto apparentemente banale: il Pigeonhole Principle, o, in versione italiana, Principio dei Cassetti (senza che la traduzione di “pigeon” sia “cassetto”, ovviamente!).
Subito gli enunciati, che sono talmente semplici da non richiedere altri giri di parole…

Pigeonhole Principle: If n+1 pigeons fly to n holes, there must be a pigeonhole containing at least two pigeons.
Principio dei Cassetti: Se devo sistemare n+1 oggetti in n cassetti, deve esserci un cassetto contenente almeno due oggetti.

A questo giro propongo tre problemi invece di due teoremi (i teoremi varranno pure di più, no?!).

Problema1 (Olimpiadi ceche e slovacche 1996): Un gruppo di bambini viene diviso in squadre nel seguente modo: innanzitutto il capo del gruppo nomina dei capitani; poi ciascun capitano forma una squadra con tutti quelli che gli sono amici (l’amicizia è simmetrica: se A è amico di B, allora anche B è amico di A!). Stranamente si formano delle squadre che non hanno bambini in comune e che comprendono tutti gli appartenenti al gruppo.
Può essere che la cosa si verifichi di nuovo, cambiando il numero di capitani?

La risposta è no, vediamo perché.
Sia k il numero di capitani della prima suddivisione, che chiamo S_1.
Se la volta dopo vengono scelti più di k capitani, per il Principio dei Cassetti (d’ora in poi PdC) almeno due dei nuovi capitani saranno stati compagni di squadra in precedenza. Allora sono entrambi amici del capitano di tale vecchia squadra, pertanto si contenderanno quel bambino. Quindi non è possibile che alla fine le nuove squadre non abbiano elementi in comune.
Se invece vengono scelti meno di k capitani, sempre per il PdC vi sarà almeno una delle squadre di S_1, nessuno dei cui elementi è capitano nella seconda suddivisione S_2. Allora il capitano di quella vecchia squadra non potrà in nessun caso far parte di una delle squadre di S_2: infatti egli non è amico di nessuno dei bambini delle altre squadre di S_1, se no li avrebbe chiamati nella sua in precedenza; inoltre i suoi vecchi compagni di squadra (di cui è amico), non hanno diritto di scelta, perché non sono capitani neanche al secondo giro. Pertanto S_2 non copre tutti i bambini del gruppo.
La dimostrazione è conclusa.

Problema 2: Dimostrare che in ogni insieme di 33 interi positivi distinti, i cui fattori primi sono scelti unicamente dall’insieme {5,7,11,13,23}, ve ne sono due il cui prodotto è un quadrato perfetto.

Ogni intero del nostro insieme è rappresentabile per mezzo dei suoi fattori primi, quindi avrà la forma 5^a7^b11^c13^d23^e, per opportuni a,b,c,d,e \in \mathbb{N} (dunque eventualmente nulli…).
Inoltre ognuno degli esponenti potrà essere pari o dispari, cosicché ad ogni 5-upla (a,b,c,d,e) se ne può associare una del tipo (P,D,D,P,D), ad esempio, dove P sta per “pari” e D per “dispari”.
Esistono 2^5=32 5-uple “pari-dispari”, dunque, per il PdC, sarà sicuramente possibile trovare tra i nostri 33 interi di partenza due numeri a cui è associata la medesima 5-upla “pari-dispari”. Moltiplicando tali numeri (gli esponenti si sommano!), se ne otterrà un terzo, nella cui fattorizzazione compaiono i soliti 5 primi, tutti con esponente pari (infatti pari+pari fa pari, così come di dispari+dispari): esso è quindi un quadrato perfetto, come desiderato.

Problema 3 (IMO 1964): Diciassette persone si scrivono mail l’un l’altro, ognuno scrive a tutti gli altri. Nelle loro mail discutono di tre diversi argomenti e ogni coppia di corrispondenti parla sempre e soltanto di uno di questi. Dimostra che esistono almeno tre persone che si scrivono vicendevolmente riguardo allo stesso argomento.

Considero un particolare membro del gruppo, Tizio. Delle sedici altre persone con cui è in contatto, per il PdC ve ne sono almeno sei che parlano con Tizio di uno stesso argomento, che denoto con Arg1. Se almeno due persone, tra queste sei, discutono via mail di Arg.1, abbiamo trovato il trio e la dimostrazione è conclusa.
Se ciò non accade, significa che questi sei parlano tra loro solo degli altri due argomenti. Considero una persona tra queste sei, Caio. Per il PdC, vi sono almeno tre persone, tra le cinque rimanenti, con cui Caio ciancia solo di un argomento, che chiamo Arg2. Analogamente a sopra, se tra queste tre ci sono almeno due persone che parlano tra loro di Arg2, abbiamo finito: Caio e questi due formano il trio cercato.
Se ciò non accade, poco male, perché significa che quegli stessi tre parlano tra loro solo di Arg3, quindi proprio loro sono il magico trio…
Comunque vada, abbiamo visto che sappiamo identificare tre persone che tra loro si scrivono solo di un particolare argomento, come volevamo dimostrare.

Due precisazioni.
Nel Problema2 ho scritto qualche volta 5-upla… che sarà mai? In generale, una n-upla (leggi ennupla… ma la 5-upla si legge pure cinquina…) è una lista ordinata di n valori (a_1,a_2,\dots,a_n).
Inoltre IMO significa International Mathematical Olympiad, ovvero il massimo livello di competizione matematica esistente… giusto per gasarsi un po’… =)

Spero abbiate apprezzato!
Andrea

Apologia della Matematica – vol. 1

12 Settembre, 2008 in Matematica | 3 comments

C’è in giro molta gente che ha un conto aperto con la matematica.
E’ un dato di fatto. Ed è un peccato.

Già, perché è estremamente probabile che fondino le loro opinioni negative nei confronti di tale scienza sulla cattiva esperienza avuta alle superiori. Peccato che, chiedendo a un matematico cosa lo affascini di ciò che studia, mai (oserei dire) citerà ciò che viene troppo spesso spacciato per matematica nella scuola dell’obbligo. E’ opinione diffusa, tra gli addetti ai lavori, che non ci sia nulla di divertente nei calcoli interminabili o nelle formule complicate.

Piuttosto, parlerà di eleganza e bellezza della matematica. Parole che possono di primo acchito suonare incomprensibili, ma hanno (eccome!) una ragion d’essere.
Uno dei maggiori matematici del XX secolo, Godfrey Harold Hardy, ha scritto un notissimo libro (al cui titolo mi sono liberamente ispirato!), “Apologia di un matematico”, nel quale racconta le ragioni per cui ha scelto di dedicare la propria vita alla disciplina. Lo scrittore Graham Greene lo definisce “insieme con i Taccuini di Henry James, la descrizione più riuscita di cosa significhi essere un artista creativo”.

Nel tentativo di dare un (pur modesto) contributo alla divulgazione della matematica, inizio a proporre problemi “belli” risolti, in cui si utilizzeranno le basilari tecniche dimostrative, convinto come sono che una delle cose più affascinanti della materia sia la generalità dei risultati che ottiene, derivanti, appunto, da dimostrazioni, specialmente se brevi e sorprendenti.

Comincio proprio dai due risultati fondamentali di cui anche Hardy parla nel suo libro!

Presupposti
La dimostrazione per assurdo procede supponendo (per assurdo, appunto) che la tesi da dimostrare sia falsa. Fatta questa assunzione, si mostra deduttivamente che ciò conduce a una contraddizione. Allora non resta che concludere che la tesi sia vera a tutti gli effetti!
Un numero primo p è un numero naturale (ossia un intero positivo) che ha due soli divisori interi positivi: 1 e p.

Teorema (Euclide): Esistono infiniti numeri primi.

Suppongo per assurdo che esista solo un numero finito di numeri primi: li chiamo p_1,p_2,p_3,\dots,p_k.
Costruisco ora il numero N=p_1p_2 p_3\dots p_k+1, ottenuto come prodotto di tutti i primi esistenti (secondo la nostra supposizione) più 1.
Ora, evidentemente N non è divisibile per nessuno dei primi p_1,\dots,p_k: infatti il resto della divisione di N per ciascuno dei nostri primi è 1.
Questo implica che o N è a sua volta un numero primo, o che è divisibile per un qualche numero primo non incluso nella nostra lista iniziale, che dunque è incompleta. Ma questa è una contraddizione, poiché si era assunto che tale lista esaurisse il novero dei numeri primi esistenti!
Pertanto la nostra supposizione iniziale è errata e i numeri primi sono infiniti.      CVD

Teorema (Ippaso di Metaponto): \sqrt{2} è un numero irrazionale.

Suppongo per assurdo che \sqrt{2} sia razionale, ovvero sia esprimibile come rapporto di interi.
Scrivo allora che \displaystyle \sqrt{2}=\frac{m}{n} e suppongo anche di aver opportunamente semplificato la frazione, in modo da ridurla ai minimi termini: in particolare, allora, m e n non sono entrambi numeri pari. Elevando ambo i membri al quadrato, ottengo    \displaystyle \sqrt{2}=\frac{m}{n} \longrightarrow 2=\frac{m^2}{n^2} \longrightarrow 2n^2=m^2.
A primo membro c’è un fattore 2, dunque 2n^2 è un numero pari. Ma allora deve esserlo pure m^2, poiché deve valere il segno di uguale. Posso quindi scrivere m come 2a e l’uguaglianza diventa 2n^2=(2a)^2=4a^2 \longrightarrow n^2=2a^2. Da qui, per motivazioni identiche a prima, si conclude che anche n deve essere pari. Ma questo è assurdo, poiché si era visto sopra che per ipotesi m e n non potevano essere entrambi pari!
In conclusione, assumendo che \sqrt{2} fosse razionale, abbiamo raggiunto una contraddizione. Quindi \sqrt{2} è irrazionale.      QED

Mi auguro che quest’iniziativa, nata in questo pigro pomeriggio vacanziero di settembre, possa almeno interessare vagamente qualcuno!… =)

Alla prossima
Andrea

P.S.: CVD e QED sono sigle, che significano, rispettivamente, “come volevasi dimostrare” e “quod erat demonstrandum”, il che, a sua volta, significa “come volevasi dimostrare”!

PDEs: esordi

23 Aprile, 2008 in Matematica | Leave a comment

DISCLAIMER: Questo sarà un intervento discriminatorio. Non avrò riguardo di niente e di nessuno, non farò alcuno sforzo per rendere intelligibile ai più quanto segue (anche perché sarebbe impraticabile!).
E’ solo un modo per rendere eterogenei i contenuti del blog, come del resto mia dichiarata intenzione fin dal principio, e di verificare le potenzialità tipografiche dello stesso!

Risolvere l’equazione di D’Alembert: \displaystyle\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=0 .

Pongo \displaystyle \eta=x-vt e \displaystyle \theta=x+vt. Allora

\displaystyle\frac{\partial\xi}{\partial x}=\frac{\partial\xi}{\partial \eta}\frac{\partial\eta}{\partial x} + \frac{\partial\xi}{\partial \theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}=\frac{\partial\xi}{\partial \eta} + \frac{\partial\xi}{\partial \theta}

\displaystyle \frac{\partial^2\xi}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial \eta}\left[\frac{\partial\xi}{\partial \eta}+\frac{\partial\xi}{\partial \theta} \right]\frac{\partial\eta}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial \theta}\left[\frac{\partial\xi}{\partial \eta}+\frac{\partial\xi}{\partial \theta} \right]\frac{\partial\theta}{\partial x}=
\displaystyle= \frac{\partial^2\xi}{\partial \eta^2}+\frac{\partial^2\xi}{\partial \theta \partial \eta}+\frac{\partial^2\xi}{\partial \eta \partial \theta}+\frac{\partial^2\xi}{\partial \theta^2}

\displaystyle\frac{\partial\xi}{\partial t}=\frac{\partial\xi}{\partial \eta}\frac{\partial\eta}{\partial t} + \frac{\partial\xi}{\partial \theta}\frac{\partial\theta}{\partial t}=-v\left(\frac{\partial\xi}{\partial \eta} - \frac{\partial\xi}{\partial \theta}\right)

\displaystyle \frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = \displaystyle -v\left[\frac{\partial}{\partial \eta}\left[\frac{\partial\xi}{\partial \eta}-\frac{\partial\xi}{\partial \theta} \right]\frac{\partial\eta}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial \theta}\left[\frac{\partial\xi}{\partial \eta}-\frac{\partial\xi}{\partial \theta} \right]\frac{\partial\theta}{\partial t}\right]=
\displaystyle= v^2\left[\frac{\partial^2\xi}{\partial \eta^2}-\frac{\partial^2\xi}{\partial \theta \partial \eta}-\frac{\partial^2\xi}{\partial \eta \partial \theta}+\frac{\partial^2\xi}{\partial \theta^2}\right]

Dunque \displaystyle\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=0 \iff 2\left(\frac{\partial^2\xi}{\partial \theta \partial \eta}+\frac{\partial^2\xi}{\partial \eta \partial \theta}\right)=0.

Supponendo il campo \xi sufficientemente regolare, valgono le uguaglianze di Schwarz, dalle quali, wlog, \displaystyle \frac{\partial}{\partial\eta}\frac{\partial\xi}{\partial\theta}=0. Segue \displaystyle \frac{\partial\xi}{\partial\theta}=f(\theta), e

\displaystyle \xi=\int{f(\theta)d\theta}+G(\eta)=F(\theta)+G(\eta)=F(x+vt)+G(x-vt).

In conclusione, soluzioni dell’equazione di D’Alembert sono tutte e sole le funzioni (ok, ok, quelle non troppo patologiche!) aventi per argomento x\pm vt.

In questi tempi di irrazionalità, un po’ di certezze non fanno mai male… =)

Ciao
Andrea

P.S.: La prossima volta sarò meno perverso, promesso…